Question

一个数列有30项，满足a₂-3a₁=a₃-3a₂=…=a₃₀-3a₂₉=1且a₁=3a₃₀，则此数列所有项的和为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意可知a_n-3a_n-1=1，整理得a_n+=3（a_n-1+）进而判断数列{a_n+}是以a₁+为首项，以3为公比的等比数列．则数列{a_n+}的通项公式可得，进而可求得a₃₀的表达式，把a₁=3a₃₀求得a₁，进而根据数列所有项的和为数列{a_n+}前30项的和减去×30得到答案．
解答：解：依题意a_n-3a_n-1=1，整理得a_n+=3（a_n-1+）（n≥2）
∴数列{a_n+}是以a₁+为首项，以3为公比的等比数列．
∴a₃₀=（a₁+）3²⁹，把a₁=3a₃₀，代入求得a₁=
∴数列所有项的和为-=-
故答案为
点评：本题主要考查了数列的求和问题．常需要把不规则的数列转化成等差数列或等比数列来解决．