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    一副三角板（如图），其中△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△DMN 中，∠MND=90°，∠D=60°，现将两相等长的边BC、MN重合，并翻折构成四面体ABCD．CD=a
    （1）当平面ABC⊥平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值
    （2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），
    ①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；
    ②求二面角A-CD-B的余弦值．

    【答案】分析：（1）取BC的中点E，先证明AE⊥面BCD，从而找到线面角的平面角，再在直角三角形中计算此角即可（2）将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等，即三棱锥的三条侧棱相等，则其在底面上的射影也相等，即A在平面BCD内的射影是底面三角形的外心，而底面三角形是直角三角形，故可证明①；②取DC中点F，先证明AF⊥CD，OF⊥CD，从而找到二面角的平面角，再在直角三角形中计算此角即可
    解答：解：（1）过A作AE⊥BC于E，连ED，
    ∵面ABC⊥面BCD，
    ∴AE⊥面BCD
    ∴∠ADE就是AD与面BCD所成的角
    ∵DC=a，则BC=a，AE=，DE=
    ∴AD=，∴sin∠ADE=
    即AD与面BCD所成角的正弦值为．
    （2）①设A在平面BCD内的射影为O，连OB、OC、OD，
    ∵AB=AC=AD
    ∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOD，
    ∴OB=OC=OD
    ∴O是Rt△BCD的外心，即BD边的中点．
    ②取CD中点F，连OF、AF，由①得A在面BCD内的射影为O，OF∥BC，∴OF⊥CD，
    ∴AF⊥CD，
    ∴∠AFO就是二面角A-CD-B的平面角；
    ∵CD=a，
    ∴BD=2a，AB=a，
    ∴AO=a，
    又∵OF=BC=a
    ∴AF=，
    ∴Rt△AFO中，cos∠AFO==
    即二面角A-CD-B的余弦值为
    点评：本题考查了空间直线与平面所成的角，空间二面角的平面角的作法、证法、求法，将空间问题转化为平面问题的思想方法
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    （1）当平面ABC⊥平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值
    （2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），
    ①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；
    ②求二面角A-CD-B的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，若使两个三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
    （Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD；
    （Ⅱ）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
    （Ⅲ）求点B到平面ACD的距离．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    一副三角板（如图），其中△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△DMN 中，∠MND=90°，∠D=60°，现将两相等长的边BC、MN重合，并翻折构成四面体ABCD．CD=a
    （1）当平面ABC⊥平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值
    （2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），
    ①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；
    ②求二面角A-CD-B的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本题满分14分）一副三角板（如答卷图），其中中，AB=AC，， 中，，，现将两相等长的边BC、MN重合，并翻折构成四面体ABC   D．

    （1）当平面ABC平面BCD（图（1））时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值；

    （2）当将平面ABC翻折到使A到B、C、D三点的距离相等时（图（2）），

           ①求证：A在平面BCD内的射影是BD的中点；

           ②求二面角A-CD-B的余弦值．

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