Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n•（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）易求a₁=1，由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），两式相减后变形可得a_n+1+1=2（a_n+1），根据等比数列的定义可得结论，利用等比数列通项公式可求a_n+1，进而可得a_n；
（2）由（1）可求b_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答： （1）证明：n=1时，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
两式相减得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1，即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2．
∴数列{a_n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）解：由（1）知，b_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①，
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹②，
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等比数列的定义、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．