Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足4S_n=a_n+1²-4n-1，n∈N^*，且a₂，a₅，a₁₄恰为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}为等差数列；  
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

a

2 n+1

=(an+2)2，由此能够证明{a_n}为首项是1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）a_n=2n-1，bn=3n，利用错位相减求和法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： （Ⅰ）证明：当n≥2时，4Sn-1=

a

2 n

-4(n-1)-1，
∴4an=4Sn-4Sn-1=

a

2 n+1

-

a

2 n

-4，
∴

a

2 n+1

=(an+2)2，∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，…（2分）
∴n≥2时，{a_n}为公差为2的等差数列，
∴a₂，a₅，a₁₄恰为等比数列{b_n}的前三项，
∴a52=a2a14，
即(a2+6)2=a2(a2+24)，解得a₂=3，…（3分）
由条件知4a1=a22-5，则a₁=1，…（4分）
∴a₂-a₁=2=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为首项是1，公差为2的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n=2n-1，bn=3n，…（8分）
∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)3n，
两边同乘以3得，3Tn=1×32+3×33+…+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，…（9分）
两式相减得-2Tn=1×3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1
=3+2

32(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)3n+1=-6+(2-2n)3n+1，…（12分）
∴Tn=3+(n-1)3n+1．…（13分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．