Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁．
（1）求证：DF∥平面ABC； 
（2）求二面角F-AC₁-C的余弦值； 
（3）求点C₁到平面AFC的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连AF、FC₁，由已知条件推导出D为AC₁的中点，取AC的中点E，推导出四边形DEBF是平行四边形，由此能证明DF∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知条件推导出FD⊥平面ACC₁，从而得到二面角F-AC₁-C的大小为90°，由此能求出二面角F-AC₁-C的余弦值．
（Ⅲ）由VF-ACC1=VB-ACC1=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

，VF-ACC1=VC1-ACF=VC1-ACF=

1

3

S_△ACF×h，利用等积法能求出点C₁到平面AFC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：连AF、FC₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
且各棱长都等于2，又F为BB₁中点，
∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，
∴AF=FC₁．
又在△AFC₁中，FD⊥AC₁，
∴D为AC₁的中点，取AC的中点E，
连接BE及DE，则DE

∥

.

1

2

CC1，
∴DE与FB平行且相等，∴四边形DEBF是平行四边形，
∴FD与BE平行．
∵BE?平面ABC，DF不包含于平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴ABC是正三角形，BE⊥AC，
∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC，∴FD⊥平面ACC₁，
∴二面角F-AC₁-C的大小为90°．
∴二面角F-AC₁-C的余弦值为0．
（Ⅲ）∵AC=2，AF=CF=

5

，
∴S_△ACF=2，
∴VF-ACC1=VB-ACC1=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

，
VF-ACC1=VC1-ACF=VC1-ACF=

1

3

S_△ACF×h，
解得h=

3

．
∴点C₁到平面AFC的距离为

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．