Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．PC=1，BC=1．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：AB⊥PB；
（3）求点C到平面ABP的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）由D，E分别是AB，PB的中点，结合三角形中位线定理和线面平行的判定定理可得DE∥平面PAC；
（2）由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB；
（3）点C到平面PAB的距离为h，由等体积法得：V_C-PAB=V_P-ABC，即可求点C到平面ABP的距离．

解答： （1）证明：∵D，E分别是AB，PB的中点，∴DE∥AP． …（2分）
∵AP?平面PAC，且DE?平面PAC，
∴DE∥平面PAC                            …（5分）
（2）证明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB        …（7分）
∵AB⊥BC，且PC∩BC=C，PC、BC?平面PBC，
∴AB⊥平面PBC------------（9分）
∵PB?平面PBC，∴AB⊥PB------------（10分）
（3）解：∵PC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PC⊥BC
在Rt△PBC中，由勾股定理得PB²=PC²+BC²=1²+1²=2，∴PB=

2

…（11分）
由（2）证知△PAB是直角三角形，
设点C到平面PAB的距离为h，由等体积法得：V_C-PAB=V_P-ABC
即

1

3

S△PAB•h=

1

3

S△ABC•PC，∴h=

S△ABC•PC

S△PAB

=

1 2 AB•BC•PC

1 2 AB•PB

=

BC•PC

PB

=

1×1

2

=

2

2

即点C到平面PAB的距离为

2

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查点到平面的距离，解答的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，属于中档题．