Question

已知f（x）是定义在R上的函数，f（-x）=f（x）且f（x）=f（x+2），当0≤x≤1时，f（x）=x²，若方程f（x）=x+a有两个不等实根，那么实数a的值为（　　）

• A、2k或2k-

  1

  4

  （k∈z）
• B、k或k-

  1

  4

  （k∈z）
• C、2k（k∈z）
• D、k（k∈z）

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：数形结合,转化思想

分析：由已知中f（x）是定义在R上的函数，f（-x）=f（x）且f（x）=f（x+2），当0≤x≤1时，f（x）=x²，画出f（x）的图象，数形结合可得满足条件的实数a的值．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的函数，f（-x）=f（x）且f（x）=f（x+2），
故f（x）为偶函数，且是以2为周期的周期函数，
又∵当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴f（x）的图象如下图所示：

由图可得：在[0，1]上，当a=0或a=-

1

4

时，方程f（x）=x+a有两个不等实根，
故实数a的值为2k或2k-

1

4

（k∈z），
故选：A

点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，是函数问题的综合应用，难度中档．