Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
（2）在（1）的条件下，当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．可设年利润为y，从而可以构建函数关系式；
（2）利用二次函数求最值的方法可得结论．

解答： 解：（1）由题意，设年利润为y，则有
y=[13（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000（1+0.4x）=5000（-0.36x²+0.3x+3），（0＜x＜1）…（6分）
由5000（-0.36x²+0.3x+3）＞3×5000，得0＜x＜

5

6

          …（9分）
（2）本年度利润为y=5000（-0.36x²+0.3x+3）…（11分）
当x=

5

12

时，y有最大值为15312.5（万元）     …（13分）
答：（1）投入成本增加的比例x的范围是0＜x＜

5

6

；（2）当x=

5

12

时，本年度的年利润最大，是15312.5万元．  …（15分）

点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查二次函数模型的构建，关键是利用年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．