Question

如图，ABCD为边长2的菱形，∠BAD=60°，对角线交于点O，沿BD将BCD折起，使二面角C-BD-A为120°，P为折起后AC上一点，且AP=2PC，Q为△ABD的中心．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）求证：PO⊥平面ABD；
（3）求BP与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，由线面平行的判定定理可得；
（2）易得OC=OA=2cos30°=

3

，在△AOC中，由余弦定理可得AC=3，在△PAO中，可得PO=1，由勾股定理可得PO⊥OA，又可得PO⊥BD，又AO∩BD=0，由线面垂直的判定可得；
（3）建立坐标系，求出

BP

=（-1，0，1），平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出BP与平面BCD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：如图由ABCD为菱形，则AC⊥BD，∠AOC=120°，
由Q为三角形ABD的重心，可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，
又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，所以PQ∥平面BCD；
（2）证明：由题意OC=OA=2cos30°=

3

，在△AOC中，由余弦定理可得
AC²=3+3-2×

3

×

3

×cos120°=9，所以AC=3，
又∠AOC=120°，AO=CO，∴∠PAO=30°，
在△PAO中，OA=

3

，AP=2，∠PAO=30°，所以PO=1，
所以PO²+OA²=AP²，所以PO⊥OA，
又BD⊥平面AOC，所以PO⊥BD，又AO∩BD=0，
所以PO⊥平面ABD；
（3）解：建立如图所示的坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，

3

2

，

3

2

），P（0，0，1），
∴

BP

=（-1，0，1），

CB

=（0，-

3

2

，-

3

2

），

CD

=（-1，-

3

2

，-

3

2

），
设平面BCD的法向量为

m

=（x，y，z），则

x- 3 2 y- 3 2 z=0 -x- 3 2 y- 3 2 z=0

，
取

m

=（0，-

3

，1），
设BP与平面BCD所成角为α，则sinα=|

1

2 •2

|=

2

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量法是关键，属中档题．