Question

已知平面上定点O，A，B，向量

a

=

OA

，

b

=

OB

，且|

a

|=2，|

b

|=1，|

a

+

b

|=

7

，点C是平面上的动点，记

c

=

OC

，若（

a

-2

c

）•（

b

-

c

）=0，给出以下命题：
①|

a

-

b

|=

3

；
②点C的轨迹是一个圆；
③|

AC

|的最大值为

7+1

2

，最小值为

7-1

2

；
④|

BC

|的最大值为

3 +1

2

，最小值为

3 -1

2

．
其中正确的有

 

（填上你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据向量的数量积及模的性质，求出即

a

•

b

，和夹角θ=60°，再运用模的平方等于向量的平方，即可判断①，取OA的中点为A₁，推出

CA1

⊥

CB

，从而得到C的轨迹为圆，再由点A，B与圆的位置关系，求出AC，BC的最值，从而判断②③④．

解答： 解：∵|

a

|=2，|

b

|=1，|

a

+

b

|=

7

，
∴|

a

+

b

|²=|

a

|²+|

b

|²+2

a

•

b

=4+1+2

a

•

b

=7，
即

a

•

b

=1=2×1×cosθ，θ=60°，
①|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

4+1-2×1

=

3

，故①正确；
②若（

a

-2

c

）•（

b

-

c

）=0，取OA的中点为A₁，
则（

1

2

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，即

CA1

⊥

CB

，
故点C的轨迹为以A₁B为直径的圆，即②正确；
③由②知C在以

1

2

为半径，A₁B的中点为圆心的圆上运动，
则|

AC

|的最大为

1+ 1 4 +2×1× 1 2 × 1 2

+

1

2

=

7 +1

2

，
最小为

7 -1

2

，故③正确；
④|

BC

|的最大值为1，最小值为0，故④错．
故答案为：①②③．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义及运用，求模，求夹角，同时考查余弦定理和点与圆的位置关系，属于综合题．