Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ） 若bn=

n

4an

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在最小正整数m，使得不等式

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ） 当n=1时，求出a₂=2，当n≥2时，求得a_n+1=2a_n，由此推导出{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而能求出an=2n-1．
（Ⅱ） 由bn=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由

k+2

Sk•(Tn+k+1)

=2（

1

2k-1

-

1

2k+1-1

），能求出

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=2（1-

1

2n+1-1

）＜2，由此推导出存在最小正整数m=2，使不等式

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立．

解答： 解：（Ⅰ） 当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1=2，…（1分）
当n≥2时，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，
两式相减得a_n+1=2a_n，…（2分）
又a₂=2a₁，∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知an=2n-1，
bn=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
两式相减得

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

．…（8分）
（Ⅲ）∵

k+2

Sk•(Tn+k+1)

=

k+2

(2k-1)•(1- k+2 2k+1 +k+1)

=

1

(2k-1)•(1- 1 2k+1 )

=

2k+1

(2k-1)•(2k+1-1)

=2（

1

2k-1

-

1

2k+1-1

），…（11分）
∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=

n

k=1

2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
=2（1-

1

2n+1-1

）＜2，
若不等式

n

k=1

k+2

(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立，则m≥2，
∴存在最小正整数m=2，
使不等式

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m对任意正整数n恒成立．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．