Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2

5

sinθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）过点P（3，

5

）作倾斜角为α=

3π

4

的直线L与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长度和|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）根据极坐标和角坐标的互化公式把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，从而得出结论．
（2）设直线l的参数方程是

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t是参数），代人曲线C的方程，化简并利用韦达定理、参数的几何意义求得线段AB的长度和|PA|•|PB|的值．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2

5

sinθ，化为直角坐标方程为x2 +(y-

5

)2=5，
它是以(0，

5

)为圆心，半径为

5

的圆．
（2）设直线l的参数方程是

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t是参数），
代人x2+y2-2

5

y=0，得t2-3

2

t+4=0．
∵t1+t2=3

2

，t₁•t₂=4，
∴|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2

，|PA|•|PB|=4．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标返程的方法，韦达定理、参数的几何意义，属于基础题．