Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中x⁶的项；
（Ⅲ）求展开式系数最大项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）由题意可得 （1+3）ⁿ-2ⁿ=992，由此求得n的值．
（Ⅱ）在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求得r的值，可得展开式中x⁶的项．
（Ⅲ）设展开式系数最大项为第r+1项，则有

C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1 C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1

，求得r的值，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得 （1+3）ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，解得 n=5．
（Ⅱ）（

3	x2

+3x²）ⁿ=（

3	x2

+3x²）⁵展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
令

10+4r

3

=6，求得r=2，故开式求展开式中x⁶的项为

C

2 5

×9•x⁶=90x⁶．
（Ⅲ）设展开式系数最大项为第r+1项，则有

C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1 C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1

，
解得r=4，故第5项的系数最大为

C

4 5

•3⁴ x

26

3

=405x

26

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．