Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n，若c_n=-

1

bn

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₃²=9a₄²和各项均为正数，得q=

1

3

．由2a₁+3a₂=1，得a₁=

1

3

，由此能求出数列{a_n}的通项式．
（2）由已知条件推导出

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出数列{c_n}的前n项和．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由a₃²=9a₂a₆，
得a₃²=9a₄²，∴q²=

1

9

，
由条件可知各项均为正数，∴q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，∴a₁=

1

3

．
∴数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

．
（2）∵a_n=

1

3n

，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

，
∴

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
∵c_n=-

1

bn

，
∴S_n=-（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

2n

n+1

，
∴数列{c_n}的前n项和为

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．