Question

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，满足a₃=4，S₇=35；T_n是数列{b_n}的前n项和，满足：T_n=2b_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

an•(log2bn)

}的前n项和R_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由已知条件推导出{b_n}是以2为公比的等比数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由

1

an•(log2bn)

=

1

(n+1)•(log22n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法能求出
数列{

1

an•(log2bn)

}的前n项和R_n．

解答： （本题共12分）
（1）解：设等差数列{a_n}的公差d，
∵a₃=4，S₇=35，∴

a1+2d=4 7a1+ 7×6 2 d=35

，
解得a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（3分）
T_n=2b_n-2，T_n-1=2b_n-1-2，（n≥2，n∈N*）
两式相减得：b_n=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1，且n=1也满足，
∴{b_n}是以2为公比的等比数列，
又∵b₁=2，∴bn=2n．…（7分）
（2）解：∵

1

an•(log2bn)

=

1

(n+1)•(log22n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Rn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．