Question

如图，已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，D是线段PA的中点，E是线段AC上的一点．
求证：（Ⅰ）若E为线段AC中点，则DE∥平面PBC；
（Ⅱ）无论E在AC何处，都有BC⊥DE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC；
（Ⅱ）要证明“无论E在AC何处，都有BC⊥DE”，问题转化为证明BC⊥平面PAC．

解答： 解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC；
（Ⅱ）∵AB是圆的直径，C是圆上任一点，
∴BC⊥AC，
又∵PA垂直圆所在的平面，
∴BC⊥PA，
又∵AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵DE?平面PAC，
∴无论E在AC何处，都有BC⊥DE．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答本题的关键，