Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．

若，求a的取值范围．

若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由函数的单调性的定义，构造出f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，通过增函数性质解不等式得a的取值范围;

（2）由f（x）单调递增且奇函数，利用其最大值整理得关于a，t 的不等式，由a∈[﹣3，0]都恒成立，根据单调性可以求t的取值范围．

解：设任意x1，x2满足﹣5≤x1＜x2≤5，由题意可得：

f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[﹣5，5]，上是增函数，

由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a，

故a的取值范围为（2，]；

（2）由以上知f（x）是定义在[﹣5，5]上的单调递增的奇函数，且f（﹣5）＝﹣2，

得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．

在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5对a∈[﹣3，0]都恒成立，

所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，对a∈[﹣3，0]都恒成立，

令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，则只需，即．

解得t

故t的取值范围（﹣∞，]．