Question

【题目】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则 + ＞ + ；
（2） + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由于（ + ）2=a+b+2 ，

（ + ）2=c+d+2 ，

由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，

则 ＞ ，

即有（ + ）2＞（ + ）2，

则 + ＞ +

（2）证明：①若 + ＞ + ，则（ + ）2＞（ + ）2，

即为a+b+2 ＞c+d+2 ，

由a+b=c+d，则ab＞cd，

于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，

（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，

即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；

②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，

即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，

由a+b=c+d，则ab＞cd，

则有（ + ）2＞（ + ）2．

综上可得， + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件

【解析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若 + ＞ + ，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得 + ＞ + ，注意运用不等式的性质，即可得证．
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．