Question

已知p：方程

x2

m

+

y2

2-m

=1表示椭圆；q：抛物线y=x²+2mx+1与x轴无公共点，若p是真命题且q是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由椭圆的标准方程，及椭圆的简单性质，我们可以求出p是真命题时，参数m的取值范围，由二次函数的性质，我们可以求出q是假命题时，参数m的取值范围，进而得到满足题意的实数m的取值范围．

解答：解：∵“方程

x2

m

+

y2

2-m

=1表示椭圆”是真命题，
∴

m＞0 2-m＞0 m≠2-m

…（3分）∴0＜m＜2且m≠1，…（4分）
∵“抛物线y=x²+2mx+1与x轴无公共点”是假命题，
∴抛物线y=x²+2mx+1与x轴有公共点，…（6分）
∴△=4m²-4≥0∴m≥1或m≤-1，…（8分）
由题意得，

0＜m＜2且m≠1 m≥1或m≤-1

…（10分）
∴1＜m＜2．…（12分）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，椭圆的标准方程，二次函数的图象与性质，其中根据椭圆的标准方程，二次函数的图象与性质，分别求出p是真命题且q是假命题时参数m的取值范围，是解答本题的关键．