Question

【题目】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面AA1B1B是正方形，AC丄侧面AA1B1B，AC=AB，点E是B1C1的中点.

(Ⅰ)求证:C1A∥平面EBA1；

(Ⅱ)若EF丄BC1，垂足为F，求二面角B—AF—A1的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意先证得EO//AC1，即可由线面平行的判定定理得出C1A∥平面EBA1；

(Ⅱ) 由已知AC丄底面AA1B1B，得A1C1丄底面AA1B1B，得C1A⊥AA1，C1A1⊥A1B1，又AA1⊥A1B1，故AA1，A1B1，A1C1两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面A1AF的法向量，平面的一个法向量设二面角B—AF—A1的平面角为θ，则即得解.

试题解析：

(Ⅰ)如图，连结， 交于，连结，由是正方形，易得O为AB1的中点，从而OE为的中位线，所以EO//AC1， 因为EO面EBA，C1A面EBA1，所以C1A//平面EBA1

(Ⅱ)由已知AC丄底面AA1B1B，得A1C1丄底面AA1B1B，

得C1A⊥AA1，C1A1⊥A1B1，又AA1⊥A1B1，故AA1，A1B1，A1C1两两垂直，

如图，分别以AA1，A1B1，A1C1所在直线为x，y，z轴，A1为原点建立空间直角坐标系，

设AA1=2，则A1 (0,0,0) ,A(2,0,0)，C1(0，0，2),E(0,1,1)，B(2,2,0),

则， ， ，

设，则由，

得，即得

于是，所以

又,所以，解得，

所以，

设平面A1AF的法向量是，则即

令，则，

又平面的一个法向量为，则即

令，得

设二面角B—AF—A1的平面角为θ，则

由，面面，可知为锐角，

即二面角B—AF—A1的余弦值为.