Question

已知曲线f（x）=x³+bx²+cx在点A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）若函数y=f(x)，x∈[-

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，3]的图象与直线y=m恰有三个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件在点A，B处的切线互相平行，可得f'（-1）=f'（3），利用f（x）的一个极值点为x=0，得到f'（0）=0，联立方程即可求b，c的值；
（Ⅱ）利用导数求函数在[-

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，3]上的最值和极值，结合图象确定函数f（x）和y=m的交点情况，从而确定实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的导数为f'（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在点A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，
∴f'（-1）=f'（3），
即3-2b+c=27+6b+c，整理得8b=-24，解得b=-3．
∵函数f（x）的一个极值点为x=0．
∴f'（0）=0，即f'（0）=c，解得c=0，
∴实数b，c的值分别为b=-3，c=0．
（Ⅱ）f（x）=x³+bx²+cx=f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
由f'（x）=0，解得x=2或x=0，
由f'（x）＞0，解得x＞2或x＜0，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，解得＜x＜2，此时函数单调递减．
当x在[-

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，3]上变化时，f'（x）和f（x）的变化如下：

x	- 1 2	（- 1 2 ，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 7 8	单调递增	极大值f（0）=0	单调递减	极小值f（2）=-4	单调递增	0

∴由表格可知当x=2时，函数f（x）取得最小值f（2）=-4，
在x=0时，函数取得极大值同时也是最大值f（0）=0．
若函数y=f(x)，x∈[-

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，3]的图象与直线y=m恰有三个交点，
则-

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≤m＜0，
即实数m的取值范围是[-

7

8

，0）．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义和导数和极值最值之间的关系研究函数的最值和极值，考查学生的运算能力，综合性较强．利用数形结合是解决此类问题的基本方法和技巧．