Question

已知数列{a_n}满足a₁=7，a_n+1=3a_n+2^n-1-8n．（n∈N^*）
（Ⅰ）李四同学欲求{a_n}的通项公式，他想，如能找到一个函数f（n）=A•2^n-1+B•n+C（A、B、C是常数），把递推关系变成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]后，就容易求出{a_n}的通项了．请问：他设想的f（n）存在吗？{a_n}的通项公式是什么？
（Ⅱ）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若不等式S_n-2n²＞p×3ⁿ对任意n∈N^*都成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意a_n+1=3a_n+2^n-1-8n，要使函数f（n）=A•2^n-1+B•n+C（A、B、C是常数），把递推关系变成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]，可得f（n+1）-3f（n）=2^n-1-8n，从而求出A，B；
（Ⅱ）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，因为不等式S_n-2n²＞p×3ⁿ对任意n∈N^*都成立，可得S_n-2n²=3ⁿ-2ⁿ+4n，得出p与n的关系式，然后利用归纳法进行证明；
解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]
∴a_n+1=3a_n+f（n+1）-3f（n），
所以只需f（n+1）-3f（n）=2^n-1-8n，
∵f（n+1）-3f（n）=-A•2^n-1-2Bn+（B-2C），
∴-A=1，-2B=-8，B-2C=0，
∴A=-1，B=4，C=2．故李四设想的f（n）存在，f（n）=-2^n-1+4n+2．
∴a_n-f（n）=3^n-1[a₁-f（1）]=3^n-1（7-5）=2×3^n-1，
∴a_n=2×3^n-1+f（n）=2×3^n-1-2^n-1+2（2n+1）．（5分）
（Ⅱ）S_n=2（1+3+3²++3^n-1）-（1+2++2^n-1）+2[3+5++（2n+1）]=3ⁿ-2ⁿ+2n²+4n．
∴S_n-2n²=3ⁿ-2ⁿ+4n，（7分）
由S_n-2n²＞p×3ⁿ，得．
设，则=，
当n≥6时，2^n-2=（1+1）^n-2≥1+C_n-2¹+C_n-2²++C_n-2^n-3+C_n-2^n-2，
（用数学归纳法证也行）
∴n≥6时，b_n+1＞b_n．容易验证，1≤n≤5时，b_n|+1＜b_n，
∴p＜（b_n）_min=，
∴p的取值范围为．（13分）
点评：此题是数学与不等式的综合，难度比较大，第一题根据（1）的思路进行求解，不是很难，第二问难度比较大，计算量也比较大，利用归纳法进行求解比较简单；