Question

【题目】已知点列为函数图像上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意，点构成以为顶点的等腰三角形.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，求的取值范围；

（3）求证：对任意，是常数，并求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析；

【解析】

（1）因为，所以，得到为等比数列；

（2）要使数列中任意连续三项能构成三角形的三边，根据三角形三边关系得到不等式，解得.

（3）因为为常数，所以，，，及，，，都是公差为2的等差数列，分别求出通项公式即可；

解：（1），，是以为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）知，要使数列中任意连续三项能构成三角形的三边，

即，，

所以需满足即解得

即

（3）依题意，，，，，

，，，，为常数

，，，，及，，，都是公差为2的等差数列，

，，