【题目】在一个特定时段内,以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40n mile的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
(其中
,
)且与点A相距10
n mile的位置C.
(I)求该船的行驶速度(单位:n mile /h);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
【答案】(I)船的行驶速度为(海里/小时).(II)船会进入警戒水域.
【解析】
试题(I)根据同角三角函数的基本关系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值,从而可求出船的行驶速度.
(II)判断船是否会进入警戒水域,关键是看点E到直线l的距离与半径7的关系,因而可求出直线l的方程,以及E点坐标,然后再根据点到直线的距离公式得到结论.
(I)如图,AB=40,AC=10
,
由于,所以cos
=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为(海里/小时).
(II)解法一 如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,
设点B、C的坐标分别是B(x1,y2), C(x1,y2),
BC与x轴的交点为D.
由题设有,x1=y1=AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
=
=
.
从而
在中,由正弦定理得,AQ=
由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.
过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中,PE=QE·sin
=所以船会进入警戒水域.
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.点
、
、
分别为棱
、
、
的中点,
是线段
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱
上,且直线
与直线
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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【题目】已知点列为函数
图像上的点,点列
顺次为
轴上的点,其中
,对任意
,点
构成以
为顶点的等腰三角形.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)若数列中任意连续三项能构成三角形的三边,求
的取值范围;
(3)求证:对任意,
是常数,并求数列
的通项公式.
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【题目】在一个半圆中有两个互切的内切半圆,由三个半圆弧围成曲边三角形,作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块,阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的,由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子,他称此为“皮匠刀定理”,如图,若,则阴影部分与最大半圆的面积比为( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知椭圆:
的离心率
,且圆
过椭圆
的上,下顶点.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线的斜率为
,且直线
交椭圆
于
、
两点,点
关于点的对称点为
,点
是椭圆
上一点,判断直线
与
的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值:如果不是,请说明理.
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【题目】已知二次函数的值域为
.
(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;
(2)判断此函数在的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;
(3)求出在
上的最小值
,并求
的值域.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为线段
的中点,
为线段
上的动点.
(1)求证:平面平面
.
(2)试确定点的位置,使平面
与平面
所成的锐二面角为
.
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