【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.点
、
、
分别为棱
、
、
的中点,
是线段
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱
上,且直线
与直线
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
【答案】(1)见解析;(2);(3)4
【解析】
(1)取中点
,连接
、
,证明平面
平面
得到答案.
(2)以为原点,分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系.平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,计算夹角得到答案.
(3)设,则
,
,
,利用夹角公式计算得到答案.
(1)取中点
,连接
、
,∵
为
中点,∴
,
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
∵为
中点,∴
,
又、
分别为
、
的中点,∴
,则
.
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
又,
平面
,
平面
∴平面平面
,又
平面
,则
平面
.
(2)∵底面
,
.
∴以为原点,分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系.
∵,
,
∴,
,
,
,
,
,
则,
,设平面
的一个法向量为
,
由,得
,取
,得
.
由图可得平面的一个法向量为
.
∴.
∴二面角的余弦值为
,则正弦值为
.
(3)设,则
,
,
.
∵直线与直线
所成角的余弦值为
,∴
.
解得:或
(舍).
∴当与
重合时直线
与直线
所成角的余弦值为
,此时线段
的长为4.
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【题目】已知等比数列的首项
,数列
前
项和记为
,前
项积记为
.
(1) 若,求等比数列
的公比
;
(2) 在(1)的条件下,判断与
的大小;并求
为何值时,
取得最大值;
(3) 在(1)的条件下,证明:若数列中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为
,则数列
为等比数列.
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【题目】在平面直角坐标系中,
为坐标原点,C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线
上的点A、B满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:原点到直线AB的距离为定值.
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【题目】已知f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)判断函数y=f(x)-x在R上的单调性,并加以证明;
(3)设g(x)=log4(a2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点,求实数a的取值范围.
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【题目】设双曲线方程为,过其右焦点且斜率不为零的直线
与双曲线交于A,B两点,直线
的方程为
,A,B在直线
上的射影分别为C,D.
(1)当垂直于x轴,
时,求四边形
的面积;
(2),
的斜率为正实数,A在第一象限,B在第四象限,试比较
与1的大小;
(3)是否存在实数,使得对满足题意的任意
,直线
和直线
的交点总在
轴上,若存在,求出所有的
值和此时直线
和
交点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列,
满足:
.
(1)若,求数列
的通项公式;
(2)若,且
.
① 记,求证:数列
为等差数列;
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项
应满足的条件.
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【题目】如图,某市三地A,B,C有直道互通.现甲交警沿路线AB乙交警沿路线ACB同时从A地出发,匀速前往B地进行巡逻,并在B地会合后再去执行其他任务.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡逻速度为5km/h,乙的巡逻速度为10km/h.
(1)求乙到达C地这一时刻的甲乙两交警之间的距离;
(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达C地这一时刻算起,求经过多长时间,甲乙方可通过对讲机取得联系.
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【题目】本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列
的一个子数列.
设数列是一个首项为
、公差为
的无穷等差数列.
(1)若,
,
成等比数列,求其公比
.
(2)若,从数列
中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为
的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若,从数列
中取出第1项、第
项(设
)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当
为何值时,该数列为
的无穷等比子数列,请说明理由.
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【题目】在一个特定时段内,以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40n mile的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
(其中
,
)且与点A相距10
n mile的位置C.
(I)求该船的行驶速度(单位:n mile /h);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
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