【题目】已知等比数列的首项
,数列
前
项和记为
,前
项积记为
.
(1) 若,求等比数列
的公比
;
(2) 在(1)的条件下,判断与
的大小;并求
为何值时,
取得最大值;
(3) 在(1)的条件下,证明:若数列中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为
,则数列
为等比数列.
【答案】(1);(2)
,当
时,
最大;(3)证明见解析.
【解析】
(1),求
和通项公式;
(2)根据定义可知,然后根据公式
求
,即
时
的最大值,再根据
,判断
的最大值;
(3)由(1)可知当为奇数时,
中的任意相邻三项由小到大排列是
,若成等差数列,可求
是否成立,并求公差,当
是偶数时,设
中的任意相邻三项按从小到大排列为
,判断是否成等差数列,并求公差,并按定义判断数列
是否为等比数列
(1) ,解得
,
;
(2).又
,
当
时,
;当
时,
.
当
时,
取得最大值,
又,∴
的最大值是
和
中的较大者,
又,
.因此当
时,
最大.
(3),
随
增大而减小,
奇数项均正,偶数项均负,
①当是奇数时,设
中的任意相邻三项按从小到大排列为
,
则,
,
,因此
成等差数列,
公差;
②当是偶数时,设
中的任意相邻三项按从小到大排列为
,
则,
.
∴,因此
成等差数列,
公差,
综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,
且, ∵
,∴数列
为等比数列.
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【题目】田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注.假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛,田忌获胜的概率如下表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
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【题目】已知抛物线焦点为
,
为抛物线上在第一象限内一点,
为原点,
面积为
.
(1)求抛物线方程;
(2)过点作两条直线分别交抛物线于异于点
的两点
,
,且两直线斜率之和为
,
(i)若为常数,求证直线
过定点
;
(ii)当改变时,求(i)中距离
最近的点
的坐标.
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【题目】如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,
,
,
.
(1)求证:AB平面SAD;
(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值;
(3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF//平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积.
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【题目】某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选
校,另在
三校中再随机选1所;而同学乙和丙对四所高校没有偏爱,因此他们每人在四所高校中随机选2所.
(ⅰ)求甲同学选高校且乙、丙都未选
高校的概率;
(ⅱ)记为甲、乙、丙三名同学中选
校的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】已知矩形,
,
,将
沿对角线
进行翻折,得到三棱锥
,则在翻折的过程中,有下列结论正确的有_____.
①三棱锥的体积的最大值为
;
②三棱锥的外接球体积不变;
③三棱锥的体积最大值时,二面角
的大小是60°;
④异面直线与
所成角的最大值为90°.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆
与直线
相切,点A为圆
上一动点,
轴于点N,且动点满足
,设动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段的中点为T,
,
的斜率分别为
,且
,求
的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.点
、
、
分别为棱
、
、
的中点,
是线段
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱
上,且直线
与直线
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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