【题目】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值;
(3)若正实数满足
,证明:
.
【答案】(1)单调递减区间为(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)求出函数的定义域与导数,通过导数的符号求函数的单调区间;(2)问题转化为恒成立,先求
,然后分别讨论当
和
时函数的单调性,根据单调性求
的最大值,若最大值小于零,则不等式恒成立,否则不恒成立,由此确定整数
的最小值;(3) 由题意得
,即
,因为
均为正实数,令
,分析
确定其最小值,也就是
的最小值,所以解不等式可以确定
,命题得证.
解:(1)定义域为
由,即
,解得
或
∴单调递减区间为
.
(2)设
不等式恒成立等价于
恒成立,
当
时,
则
,
,
所以,
在
上单调递增,
因为,不符合题意;
当
时,
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
设在
单调递减且
所以当时,
所以整数的最小值为2;
(3)由题意得,
即,
令,
,则
,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,
所以,令
,
则且
,解得
成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等比数列的首项
,数列
前
项和记为
,前
项积记为
.
(1) 若,求等比数列
的公比
;
(2) 在(1)的条件下,判断与
的大小;并求
为何值时,
取得最大值;
(3) 在(1)的条件下,证明:若数列中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为
,则数列
为等比数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,,点O为AD的中点,
且
.
(1)求证:平面PAD;
(2)若,求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位为米),其中储油罐的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,(
为圆柱的高,为球的半径,
).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为
千元,半球形部分每平方米建造费用为
千元.设该储油罐的建造费用为
千元.
(1) 写出关于
的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2) 若预算为万元,求所能建造的储油罐中
的最大值(精确到
),并求此时储油罐的体积
(单位: 立方米,精确到
立方米).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用
表示乙队的总得分.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,
为坐标原点,C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线
上的点A、B满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:原点到直线AB的距离为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)判断函数y=f(x)-x在R上的单调性,并加以证明;
(3)设g(x)=log4(a2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点,求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列
的一个子数列.
设数列是一个首项为
、公差为
的无穷等差数列.
(1)若,
,
成等比数列,求其公比
.
(2)若,从数列
中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为
的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若,从数列
中取出第1项、第
项(设
)作为一个等比数列的第1项、第2项,试问当且仅当
为何值时,该数列为
的无穷等比子数列,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com