【题目】设双曲线方程为,过其右焦点且斜率不为零的直线
与双曲线交于A,B两点,直线
的方程为
,A,B在直线
上的射影分别为C,D.
(1)当垂直于x轴,
时,求四边形
的面积;
(2),
的斜率为正实数,A在第一象限,B在第四象限,试比较
与1的大小;
(3)是否存在实数,使得对满足题意的任意
,直线
和直线
的交点总在
轴上,若存在,求出所有的
值和此时直线
和
交点的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
存在,
,此时两直线的交点为
.
【解析】
(1))当垂直于x轴,直线
方程为
,四边形
为矩形,将
代入双曲线方程,求出
坐标,得出
,即可求解;
(2)设的方程为
,
,设
两点的纵坐标分别为
,将
的方程与双曲线方程联立,得到关于
的方程,根据韦达定理得出
关系,结合
,
,
,将根据线段长公式化简
,
再利用点在双曲线上可得
,由
,
即可得出结论;
(3)设,
,则
,
,求出直线
和直线
的方程,利用两条直线相交在
轴上,可得
,将
关系,代入,得
对一切
都成立,有
,求出交点的横坐标,即可求解.
(1)右焦点的坐标为.故
.
联立解得
.故
,
又,故四边形
的面积为
;
(2)设的方程为
,这里
.
将的方程与双曲线方程联立,得到
,即
.
由知
,此时,
由于,故
,
即,故
,因此
;
(3)由(2)得.(有两交点表示
)
设,
,则
,
.
的绝对值不小于
,故
,且
.
又因直线斜率不为零,故.
直线的方程为
.
直线的方程为
.
若这两条直线的交点在轴上,则当
时,
两方程的应相同,即
.
故,
即.
现,
,
代入上式,得对一切
都成立.
即,
.
此时交点的横坐标为
.
综上,存在,
,此时两直线的交点为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选
校,另在
三校中再随机选1所;而同学乙和丙对四所高校没有偏爱,因此他们每人在四所高校中随机选2所.
(ⅰ)求甲同学选高校且乙、丙都未选
高校的概率;
(ⅱ)记为甲、乙、丙三名同学中选
校的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程,并求其离心率;
(Ⅱ)过点作
轴的垂线
,设点
为第四象限内一点且在椭圆
上(点
不在直线
上),直线
关于
的对称直线
与椭圆交于另一点
.设
为坐标原点,判断直线
与直线
的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.
(1)求证:AE⊥平面ABCD;
(2)求平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值.
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【题目】第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____.
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【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
.点
、
、
分别为棱
、
、
的中点,
是线段
的中点,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱
上,且直线
与直线
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中, 平面
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在, 求
的值;若不存在, 说明理由.
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【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且
的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数
(元)的分布列并求其数学期望.
附:参考公式和数据:,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的离心率
,且圆
过椭圆
的上,下顶点.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线的斜率为
,且直线
交椭圆
于
、
两点,点
关于点的对称点为
,点
是椭圆
上一点,判断直线
与
的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值:如果不是,请说明理.
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