【题目】已知椭圆过点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程,并求其离心率;
(Ⅱ)过点作
轴的垂线
,设点
为第四象限内一点且在椭圆
上(点
不在直线
上),直线
关于
的对称直线
与椭圆交于另一点
.设
为坐标原点,判断直线
与直线
的位置关系,并说明理由.
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【题目】若给定椭圆和点
,则称直线
为椭圆C的“伴随直线”.
(1)若在椭圆C上,判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交),并说明理由;
(2)命题:“若点在椭圆C的外部,则直线
与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题,判断此逆命题的真假,说明理由;
(3)若在椭圆C的内部,过N点任意作一条直线,交椭圆C于A、B,交
于M点(异于A、B),设
,问
是否为定值?说明理由.
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【题目】某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位为米),其中储油罐的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,(
为圆柱的高,为球的半径,
).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为
千元,半球形部分每平方米建造费用为
千元.设该储油罐的建造费用为
千元.
(1) 写出关于
的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2) 若预算为万元,求所能建造的储油罐中
的最大值(精确到
),并求此时储油罐的体积
(单位: 立方米,精确到
立方米).
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【题目】已知,
,
,
是各项均为正数的等差数列,其公差
大于零.若线段
,
,
,
的长分别为
,
,
,
,则( ).
A.对任意的,均存在以
,
,
为三边的三角形
B.对任意的,均不存在以
,
,
为三边的三角形
C.对任意的,均存在以
,
,
为三边的三角形
D.对任意的,均不存在以
,
,
为三边的三角形
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【题目】在平面直角坐标系中,
为坐标原点,C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线
上的点A、B满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:原点到直线AB的距离为定值.
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【题目】菱形中,
平面
,
,
,
(1)证明:直线平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)线段上是否存在点
使得直线
与平面
所成角的正弦值为
?若存在,求
;若不存在,说明理由.
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【题目】设双曲线方程为,过其右焦点且斜率不为零的直线
与双曲线交于A,B两点,直线
的方程为
,A,B在直线
上的射影分别为C,D.
(1)当垂直于x轴,
时,求四边形
的面积;
(2),
的斜率为正实数,A在第一象限,B在第四象限,试比较
与1的大小;
(3)是否存在实数,使得对满足题意的任意
,直线
和直线
的交点总在
轴上,若存在,求出所有的
值和此时直线
和
交点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆,
、
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上一点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点
的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
、直线
于
、
两点,当
最小时,求直线
的方程.
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