【题目】已知二次函数的值域为
.
(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;
(2)判断此函数在的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;
(3)求出在
上的最小值
,并求
的值域.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)根据题意,由二次函数的性质求出f(x)的对称轴,结合函数奇偶性的定义分析可得结论;
(2)根据题意,由二次函数的性质分析可得a>0,设x1<x2,由作差法分析可得结论;
(3)根据题意,分析可得ac=4,按对称轴x对a分情况讨论,由二次函数的性质分析可得答案.
解:(1)由题意知,二次函数f(x)=ax2﹣4x+c,其对称轴为x,
则f(x)的图象不关于y轴对称,也不关于点(0,0)对称,
故f(x)是非奇非偶函数;
(2)函数在[,+∞)上为增函数,
证明:二次函数f(x)=ax2﹣4x+c的值域为[0,+∞),则有a>0,
设x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)=(ax12﹣4x1+c)﹣(ax22﹣4x2+c)=a(x12﹣x22)﹣4(x1﹣x2)=(x1﹣x2)[(x1+x2)a﹣4],
又由x1<x2,则(x1﹣x2)<0,(x1+x2)a﹣4>0,
则f(x1)﹣f(x2)<0,
即函数f(x)在[,+∞)上为增函数;
(3)二次函数f(x)=ax2﹣4x+c的值域为[0,+∞),
则有a>0且16﹣4ac=0,变形可得ac=4,
f(x)=ax2﹣4x+c,其对称轴为x,
又a>0,分2种情况讨论:
①,1时,即a>2时,f(x)在[1,+∞)上递增,
此时g(a)=f(1)=a+c﹣4=a4;
②,1时,即0<a<2时,此时g(a)=f(
)=0,
则g(a);
当0<a≤2时,g(a)=0,当a>2时,g(a)=a4≥2
4=0,
综合可得:y=g(a)的值域为[0,+∞).
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【题目】已知函数f(x)=2alnx+x2﹣(a+4)x+1(a为常数)
(1)若a>0,讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意的 a∈(1, ),都存在 x0∈(3,4]使得不等式f(x0)+ln a+1>m(a﹣a2)+2a ln
成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在下列命题中:①两个函数的对应法则和值域相同,则这两个是同一个函数;②在
上单调递增,③若函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
;④若函数
在其定义域内不是单调函数,则
不存在反函数;⑤
函数的最小值为4;⑥若关于
的不等式
在
区间内恒成立,则实数m的范围是
其中真命题的序号有_________.
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【题目】已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上,且PA⊥平面ABC,若球O的体积为 (球的体积公式为
R3 , 其中R为球的半径),AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则三棱锥P﹣ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知有限集,如果
中元素
满足
,就称
为“完美集”.
①集合不是“完美集”;
②若、
是两个不同的正数,且
是“完美集”,则
、
至少有一个大于2;
③二元“完美集”有无穷多个;
④若,则“完美集”
有且只有一个,且
;
其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号)
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