【题目】已知函数
(1)若讨论
的单调性;
(2)当时,若函数
与
的图象有且仅有一个交点
,求
的值(其中
表示不超过
的最大整数,如
.
参考数据:
【答案】(1)当时,
在
单调递减;当
时,
在
单调递减;
在
单调递增. (2)2
【解析】
(1)对进行求导,讨论
的取值范围,令
或
,解不等式即可求解.
(2)两函数有且仅有一个交点 ,则方程
即方程在
只有一个根, 令
,研究
的单调性,求出
的零点,然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.
解:(1)
对于函数
当时,则
在
单调递减;
当时,令
,则
,解得
在
单调递减;
令,解得
,所以
在
单调递增.
(2)且两函数有且仅有一个交点
,则方程
即方程在
只有一个根
令,则
令,则
在
单调递减,在
上单调递增,故
注意到在
无零点,在
仅有一个变号的零点
在
单调递减,在
单调递增,注意到
根据题意为
的唯一零点即
消去
,得:
令,可知函数
在
上单调递增
,
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数).以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若过点的直线
与
交于
,
两点,与
交于
,
两点,求
的取值范围.
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【题目】已知曲线的极坐标方程是
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
过点
,倾斜角为
.
(1)求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(2)设直线与曲线
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】如图,设点的坐标分别为
,直线
相交于点
,且它们的斜率之积为
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为
,点
是轨迹为
上不同于
的两点,且满足
,求证:
的面积为定值.
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【题目】已知四面体中,棱
,
所在直线所成角为
,且
,
,
,面
和面
所成的锐二面角为
,面
和面
所成的锐二面角为
,当四面体
的体积取得最大值时( ).
A.B.
C.
D.不能确定
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【题目】设,
是抛物线
上的两个不同的点,
是坐标原点.若直线
与
的斜率之积为
,则( ).
A.B.以
为直径的圆的面积大于
C.直线过定点
D.点
到直线
的距离不大于2
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【题目】法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000,上下浮动不超过50
.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000
,标准差为50
的正态分布.
(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1000的个数为
,求
的分布列和数学期望;
(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据(单位:
)
981 | 972 | 966 | 992 | 1010 | 1008 | 954 | 952 | 969 | 978 |
989 | 1001 | 1006 | 957 | 952 | 969 | 981 | 984 | 952 | 959 |
987 | 1006 | 1000 | 977 | 966 |
尽管上述数据都落在上,但庞加菜还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由
附:
①若,从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量
②若,则
,
,
;
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.
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