Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、分别是、上的点，且平面．

（Ⅰ）求证：为的中点；

（Ⅱ）当与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用线面平行的性质定理可得，再根据三角形的中位线性质即可证出.

（Ⅱ）首先作出线面角，利用三角形的面积相等可得，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（Ⅰ）连接，交于点，连接，

平面平面，

平面，平面

则，

底面是正方形，点为的中点，

为的中点.

（Ⅱ）由底面是正方形，且，则,

又底面，所以，

又，且，

所以平面，即，

又，所以平面，

在平面内，过作，连接，

则与平面所成的角最大.

设，则，

由，即，解得，

，即，

以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，如图：

则，，，，

， ，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，

所以，、

设平面的一个法向量，

，即，

令，则，，

所以

，

所以二面角的余弦值为.