【题目】已知矩形和菱形
所在平面互相垂直,如图,其中
,
,
,点
为线段
的中点.
(Ⅰ)试问在线段上是否存在点
,使得直线
平面
?若存在,请证明
平面
,并求出
的值,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)因为,所以
在同一平面,取
的中点
,连结
,交点即为所求点,因为
;(2)根据底面菱形,根据余弦定理求
,三边满足勾股定理,所以
,
平面
,所以以
建立空间直角坐标系,分别计算平面
和平面
的法向量,求法向量夹角的余弦值,再求正弦值.
试题解析:(1)取的中点
,连接
交
于点
,
点即为所求的点.
证明:连接,
∵是
的中点,
是
的中点,
∴,
又平面
,
平面
,
∴直线平面
.
∵,
∴,
∴.
(2)由(1)知,
又面面
,面
面
,
面
,
所以面
.
故.
以为空间原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系
,
∵,
∴为正三角形,
,
∴,
∴.
设平面的一个法向量
,则由
可得
令
,则
.
设平面的一个法向量
,则由
可得
令
,则
.
则,
设二面角的平面角为
,则
,
∴二面角的正弦值为
.
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【题目】已知直线m、n与平面α、β,下列命题正确的是( )
A.m⊥α,n∥β且α⊥β,则m⊥n
B.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n
C.α∩β=m,n⊥m且α⊥β,则n⊥α
D.m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n
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【题目】用数字组成没有重复数字的四位数.
(Ⅰ)可组成多少个不同的四位数?
(Ⅱ)可组成多少个不同的四位偶数?
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第项是什么?
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【题目】已知圆关于直线
对称的圆为
.
(1)求圆的方程;
(2)过点作直线
与圆
交于
两点,
是坐标原点,是否存在这样的直线
,使得在平行四边形
中
?若存在,求出所有满足条件的直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( )
A.
B.
C.或24
D.或12
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【题目】如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 , E,F,P,Q分别是BC,C1D1 , AD1 , BD的中点,求证:
(1)PQ∥平面DCC1D1
(2)EF∥平面BB1D1D.
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