Question

【题目】法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.

（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000的个数为，求的分布列和数学期望；

（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468.庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：）

981	972	966	992	1010	1008	954	952	969	978
989	1001	1006	957	952	969	981	984	952	959
987	1006	1000	977	966

尽管上述数据都落在上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由

附：

①若，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则由统计学知识可知：随机变量

②若，则，，；

③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析；期望为1（个）（2）详见解析

【解析】

（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.可求得；；.从而可求得的分布列和其数学期望.

（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.假设面包师没有撒谎，则.由附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，则.可求得这25个数据的平均值为，而由由附②数据知，，由附③知，事件“”为小概率事件，可得结论.

（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2.

；；

.所以的分布列为：

	0	1	2
P

所以（个）.

（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X.

假设面包师没有撒谎，则.

根据附①，从X的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y，

则.

庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X的取值中随机抽取了25个数据，

这25个数据的平均值为，

由附②数据知，，

由附③知，事件“”为小概率事件，

所以“假设面包师没有撒谎”有误，

所以庞加莱认为面包师撒谎.