【题目】函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )
A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0
B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-1<f(x0)<0
C.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点
D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点
【答案】ABD
【解析】
逐一验证选项,选项A,通过切点求切线,再通过点斜式写出切线方程,选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围,选项C、D,通过构造函数,将零点问题转化判断函数与直线y=a 的交点问题.
选项A,当时,
,
,
所以,故切点为
,
,
所以切线斜率,
故直线方程为:,即切线方程为:
, 选项A正确.
选项B,当时,
,
,
恒成立,所以
单调递增,
又,
,所以
,即
,所以
所以存在,使得
,即
则在上,
,在
上,
,
所以在上,
单调递减,在
上,
单调递增.
所以存在唯一的极小值点
.
,则
,
,所以B正确.
对于选项C、D,,
令,即
,所以
, 则令
,
,令
,得
由函数的图像性质可知:
时,
,
单调递减.
时,
,
单调递增.
所以时,
取得极小值,
即当时
取得极小值,
又,即
又因为在上
单调递减,所以
所以时,
取得极小值,
即当时
取得极大值,
又,即
所以
当时,
所以当,即
时,f(x)在(-π,+∞)上无零点,所以C不正确.
当,即
时,
与
的图象只有一个交点
即存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点,故D正确.
故选:ABD
.
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【题目】如图,已知等腰直角三角形的斜边
所在直线方程为
,其中
点在
点上方,直角顶点
的坐标为
.
(1)求边上的高线
所在直线的方程;
(2)求等腰直角三角形的外接圆的标准方程;
(3)分别求两直角边,
所在直线的方程.
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【题目】关于空间直角坐标系中的一点
,有下列说法:
①点到坐标原点的距离为
;
②的中点坐标为
;
③点关于
轴对称的点的坐标为
;
④点关于坐标原点对称的点的坐标为
;
⑤点关于坐标平面
对称的点的坐标为
.
其中正确的个数是
A.B.
C.
D.
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【题目】学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中,
①摸出3个白球的概率;
②获奖的概率;
(2)求在2次游戏中获奖次数的分布列.
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【题目】已知双曲线的左右焦点分别为
,
,实轴长为6,渐近线方程为
,动点
在双曲线左支上,点
为圆
上一点,则
的最小值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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【题目】在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示:
组别 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 2 | 15 | 20 | 25 | 24 | 10 | 4 |
(I)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,198),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(37<Z≤79);
(II)在(I)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
赠送话费的金额(单元:元) | 20 | 40 |
概率 |
|
|
现有市民甲参加此次问卷调查,记ξ(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求ξ的分布列与数学期望.附:参考数据与公式:14.
若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826;P(μ2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.
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【题目】某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果,假设每箱售价不低于50元且不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,每天可以获得最大利润?最大利润是多少?
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