Question

【题目】已知函数.

（1）若，且在上单调递减，求的取值范围；

（2）若，且在区间恒成立，求的取值范围；

（3）当，时，求证：在区间至少存在一个，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据二次函数在区间上单调递减得出，进而可求得实数的取值范围；

（2）由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（3）利用反证法，假设对任意的，均有，根据题意得出，推出矛盾即可.

（1）当时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

由于函数在单调递减，则有，解得.

因此，实数的取值范围是；

（2）由题可知在恒成立，则且,

令，，则二次函数在时单调递减，

当时，函数取得最大值，即，，

因此，实数的取值范围是；

（3）由题可知，且，函数开口向上，对称轴，

则在单调递减，其值域为，

若不存在使得，即对任意都有，

即，可得，即，与矛盾.

故必存在，使得.