Question

设M（k）是满足不等式log₂₅x+log₂₅（26×25^k-1-x）≥2k-1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）  n∈N．
（1）求S；
（2）设t=5ⁿ-²+5ⁿ⁺²+n-2  （n∈N），试比较S与t的大小．

Answer 1

分析：（1）先将原不等式化简得x²-26•25^k-1x+25^2k-1≤0，利用换元法解出x的范围，从而得出正整数x的个数M（k）=25^k-25^k-1+1 再利用等比数列的求和公式求得S=（25¹-25⁰+1）+（25²-25¹+1）+…+（25ⁿ-25^n-1+1）即可；
（2）因S-t=（5²ⁿ-

626

25

•5n+1=(5n-

1

25

)(5n-25)＞0，只要 5ⁿ＞25或5ⁿ＜

1

25

，求得其等价的条件，从而得出S与t的大小与相应的n的值．

解答：解：（1）化简得   x²-26•25^k-1x+25^2k-1≤0
∴25^k-1≤x≤25^k  …（3分）
∴M（k）=25^k-25^k-1+1  …（5分）
S=（25¹-25⁰+1）+（25²-25¹+1）+…+（25ⁿ-25^n-1+1）=25ⁿ+n-1…（8分）
（2）要S-t=（5²ⁿ-

626

25

•5n+1=(5n-

1

25

)(5n-25)＞0…（11分）
只要 5ⁿ＞25或5ⁿ＜

1

25

即：n＞2或n＜-2           …（13分）
∴当n＞2 时s＞t；当n=2时s=t； 当n=1时s＜t     …（16分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数图象与性质的综合应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．