Question

设函数f（x）的定义域为M，若函数f（x）满足：（1）f（x）在M内单调递增，（2）方程f（x）=x在M内有两个不等的实根，则称f（x）为递增闭函数，现在是递增闭函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．（-2，+∞）
B．（-∞，1]
C．（-2，-1]
D．（-2，1）

Answer 1

【答案】分析：根据已知中递增闭函数的定义，结合是递增闭函数，可得f（x）在定义域内单调递增，且方程f（x）=x在M内有两个不等的实根，即在[-1，+∞）内有两个不等的实根，利用换元法，可得方程-t²+2t+1+k=0有两个不等的非负根，结合韦达定理及根的个数与△的关系，构造不等式组可求出参数范围．
解答：解：∵不论k为何值均为增函数，故满足条件（1）
又∵是递增闭函数
∴f（x）=x在[-1，+∞）内有两个不等的实根
即在[-1，+∞）内有两个不等的实根
令t=（t≥0）
则方程-t²+2t+1+k=0有两个不等的非负根
则
解得-2＜k≤-1
故实数k的取值范围是（-2，-1]
故选C
点评：本题考查的知识点是函数的单调性判断与证明，根的存在性及根的个数判断，正确理解新定义是解答本题的关键．