Question

设函数f（x）的定义在R上的偶函数，且是以4为周期的周期函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-cosx，则a=f（-

3

2

）与b=f（

15

2

）的大小关系为

a＞b

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）周期为4的偶函数再利用函数的周期性及奇偶性，我们易在区间[2，4]上找到与f（-

3

2

），f（

15

2

）两个函数值相同的自变量，再根据f（x）的区间[2，4]上是增函数，即可得到函数值f（-

3

2

），f（

15

2

）的大小关系．

解答：解：∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-cosx
∴f^′（x）=2+sinx＞0在x∈[0，2]上恒成立
∴f（x）=2x-cosx再x∈[0，2]上单调递增
∵函数f（x）的定义在R上的偶函数，且是以4为周期的周期函数
∴f（x）=2x-cosx在x∈[-2，0]上单调递减
∵f（x+4）=f（x）
∴f（x）在x∈[2，4]
∵f（-

3

2

）=f（-

3

2

+4）=f（

5

2

），f（

15

2

）=f（

15

2

-4）=f（

7

2

）且2＜

5

2

＜

7

2

4
∴f（

5

2

）＞f（

7

2

）即f（-

3

2

）＞f（

15

2

）
故答案为a＞b

点评：本题主要考查的是函数奇偶性与单调性的综合应用，属常考题，较难．解题的关键是利用函数的周期性及奇偶性在区间[2，4]上找到与f（-

3

2

），f（

15

2

）函数值相同的自变量，但f（x）的区间[2，4]上单调性的判断是解答本题的重中之重！