Question

5．已知点A（2，0），B（0，-1），点P是圆x²+（y-1）²=1上的任意一点，则△PAB面积的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $4+\sqrt{5}$
• C． $1+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $2+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 先利用点到直线的距离公式求得圆心（0，1）到直线AB的距离为d，可得P到直线AB的距离最大值（d+1），从而求得△PAB面积的最大值为 $\frac{1}{2}$•AB•（d+1）的值．

解答 解：要使△PAB的面积最大，主要点P到直线AB的距离最大．
由于AB的方程为$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{-1}$=0，即x-2y=0，圆心（0，1）到直线AB的距离为d=$\frac{|0-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故P到直线AB的距离最大值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+1，
再根据AB=$\sqrt{5}$，可得△PAB面积的最大值为 $\frac{1}{2}$•AB•（d+1）=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+1）=1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，定到直线的距离公式的应用，属于中档题．