Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的标准方程以及m的取值范围；
（2）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为 （a＞b＞0），且a=2b，

椭圆经过点M（2，1），则 ，解得：a=2 ，b= ，

∴椭圆方程 ；

∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又kOM= ，

∴l的方程为：y= x+m，

由 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜0或0＜m＜2，

∴m的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）

（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，

要证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．只需证明k1+k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程为：y= x+m，则k1= ，k2= ．

由 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0

∴x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，

而k1+k2= + = ，

其分子=（ x1+m﹣1）（x2﹣2）+（ x2+m﹣1）（x1﹣2）

=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4﹣2m（m﹣2）﹣4m+4=0，

∴k1+k2=0．

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

【解析】（1）根据题意，将M点代入即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程，求得直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0即可求得m的取值范围；（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，根据直线的斜率公式及韦达定理即可求得答案．