Question

（2011•花都区模拟）等差数列{a_n} 中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列 {b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

，建立方程组，即可求出a_n与b_n；
（2）对通项化简，利用裂项法求和，即可得到数列{

1

Sn

}的前n项和．

解答：解：（1）由已知得b₂=b₁q=q，所以有

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，（3分）
解方程组得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6（5分）
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1 （7分）
（2）∵Sn=

n(3+3n)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3n+3

 （14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的综合，考查裂项法求数列的和，属于中档题．