Question

11．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=$\sqrt{x+3}$和y=$\sqrt{1-x}$的交点，则cos2α+cot（$\frac{3π}{2}$+α）=-$\frac{1}{3}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件求得∠α的终边经过点P（-1，$\sqrt{2}$），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．

解答 解：∵两曲线y=$\sqrt{x+3}$和y=$\sqrt{1-x}$的交点为P（-1，$\sqrt{2}$），故∠α的终边经过点P（-1，$\sqrt{2}$），
故cosα=$\frac{-1}{\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，tanα=-$\sqrt{2}$，
∴cos2α+cot（$\frac{3π}{2}$+α）=2cos²α-1-tanα=2•$\frac{1}{3}$-1+$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{3}$+$\sqrt{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{3}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．