Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求点A₁到面BDC₁的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接B₁C，交BC₁于点O，则O为B₁C
的中点，∵D为AC中点∴OD∥A B₁
又∵A B₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁
∴A B₁∥平面BDC₁-----------------------（6分）
（Ⅱ）在直角三角形BDC中过点C作BD的垂线，垂足为E，连接C₁E．
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁
∴CC₁⊥平面ABC   又∵BD?平面ABC∴CC₁⊥BD
∴BD⊥平面C₁CE∴BD⊥C₁E
在Rt△CBD中，BD=

DC2+CB2

=

5

，CE=

BC•DC

BD

=

2

5

在Rt△C₁CE中，C1E=

C1E2+CE2

=

32+ 4 5

=

7

5

---------（10分）
∵V三棱锥B-A1DC1=V三棱锥A1-BDC1
设点A₁到面BDC₁的距离为h，则有S△C1BD•h=S△A1DC1•BC
所以h=

3×2

1 2 × 5 × 7 5

=

12

7

---------（12分）