Question

（2012•黑龙江）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC₁⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意易证DC₁⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC₁⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B-DACC₁的体积为V₁，AC=1，易求V₁=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=1，于是可得（V-V₁）：V₁=1：1，从而可得答案．

解答：证明：（1）由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，又DC₁?平面ACC₁A₁，
∴DC₁⊥BC．
由题设知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC，又DC₁?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）设棱锥B-DACC₁的体积为V₁，AC=1，由题意得V₁=

1

3

×

1+2

2

×1×1=

1

2

，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=1，
∴（V-V₁）：V₁=1：1，
∴平面BDC₁分此棱柱两部分体积的比为1：1．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．