Question

已知数列{a_n}满足．
（1）求数列（a_n）的通项公式；
（2）令，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：当n≥2时；
（4）证明：（5）．

Answer 1

【答案】分析：（1）将已知关系式两边同除以n（n+1）变形、整理、转化成等差或等比数列问题解决．
（2）由（1）能知，但数列{b_n}的前n项和S_n无法进一步化简，因此考虑利用b_n，S_n的关系进行相互转化求证．
（3）是与自然数有关的不等式命题，用数学归纳法证明．
解答：解：（1）由已知得na_n+1=3（n+1）a_n+4n+6，两边同除以n（n+1）得：，所以，
所以是首项为1，公比为q=3的等比数列．
所以．∴a_n=n•3^n-1-2
（2）由（1）知．
当n≥2时，．
两边平方得，，，
┅┅
相加得
又∴．
（3）（数学归纳法）
当n=1，2时，显然成立；
当n≥2时，证明不等式．
假设当n=k（k≥2）时命题也成立，即
则当n=k+1时所以当n=k+1时命题也成立，
故原不等式成立．
点评：（1）以数列的递推关系为载体，构造等比数列，求出了数列（a_n）的通项公式．（2）利用b_n，S_n的关系解决，避免了繁琐的S_n的计算式表示（3）要求学生掌握数学归纳法在证明题中的运用．三个问题跨度大，思维跳跃性强．是难题．