Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为N、M，点N到上准线的距离为4，且椭圆的离心率为

5

5

，若点P为一动点，满足

MP

•

MN

=|

PN

|•|

MN

|，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点N作直线l与曲线C交于点A、B，分别以A、B为切点作曲线C的切线，其交点为Q，求

NQ

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）由题设知

a2 c -c=4 c a = 5 5

，知c=1，由此能导出动点P的轨迹C的方程．
（2）由y=

1

4

x2，y′=

x

2

，知以A（x1，

x12

4

）、B（x2，

x22

4

）为切点的切线方程分别是y=

x1

2

x-

x12

4

与y=

x2

2

x-

x22

4

，解得Q（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），设直线l的方程为y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，再由根的判别式进行求解．

解答：解：（1）由题设知

a2 c -c=4 c a = 5 5

，∴c=1，
解得N（0，1），M（0，-1），设P（x，y），
则

MP

=(x，y+1)，

MN

=(0，2)，

PN

=(-x，1-y)，
∴2y+2=2

(1-y)2+x2

，∴x²=4y；
（2）y=

1

4

x2，y′=

x

2

，则以A（x1，

x12

4

）、B（x2，

x22

4

）为切点的切线方程分别是：
y=

x1

2

x-

x12

4

与y=

x2

2

x-

x22

4

，解得Q（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），设直线l的方程为y=kx+1，
（直线l与x²=2y有两个交点知k肯定存在），代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
x₁x₂=-4，∴Q(

x1+x2

2

，-1)，
∴

NQ

•

AB

=(

x1+x2

2

，-2)•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=

x22-x12

2

-2(

x22

4

-

x12

4

)=0．

点评：本题考查动点P的轨迹C的方程和求

NQ

•

AB

的值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．