平面直角坐标系xOy中.已知⊙M经过点F1.F2(0.c).A(3c.0)三点.其中c＞0．(1)求⊙M的标准方程,(2)已知椭圆y2a2+x2b2=1(其中a2-b2=c2)的左.右顶点分别为D.B.⊙M与x轴的两个交点分别为A.C.且A点在B点右侧.C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围,②若A.B.M.O.C.D依次均匀分布在x轴上.问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

分析：（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由题设，得

c2-Ec+F=0

c2+Ec+F=0

3c2+

Dc+F=0

，由此能求出⊙M的方程．
（2）⊙M与x轴的两个交点A(

c，0)，C(-

c，0)，又B（b，0），D（-b，0），由题设

c＞b

c＞-b

，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（3）由M(

c，0)，得

c-b=b-

c．所以直线MF₁的方程为

=1，由此能够导出直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线y=

x上．

解答：解：（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得

c2-Ec+F=0

c2+Ec+F=0

3c2+

Dc+F=0

解得

D=-

E=0

F=-c2

⊙M的方程为x2+y2-

cx-c2=0，
⊙M的标准方程为(x-

c)2+y2=

c2；（5分）
（2）⊙M与x轴的两个交点A(

c，0)，C(-

c，0)，
又B（b，0），D（-b，0），
由题设

c＞b

c＞-b

即

c＞b

c＜b

所以

3c2＞a2-c2

c2＜a2-c2

解得

＜

，
即

＜e＜

．所以椭圆离心率的取值范围为(

，

)；（10分）
（3）由（1），得M(

c，0)．
由题设，得

c-b=b-

c．
∴b=

c，D(-

c，0)．
∴直线MF₁的方程为

=1，
①直线DF₂的方程为-

=1．
②由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点Q(

c，3c)，
易知kOQ=

为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线y=

x上．（15分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆曲线的性质和公式的合理运用．

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