Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：

x=-2+ 3 5 t y=2+ 4 5 t

（t为参数），它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A，B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2

2

，

3π

4

)，求点P到线段AB中点M的距离．

Answer 1

分析：（1）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t²+60t-125=0，可得根与系数的关系，根据弦长公式|AB|=|t₁-t₂|即可得出；
（2）点P在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为

t1+t2

2

．根据t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=|

t1+t2

2

|即可．

解答：解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t²+60t-125=0
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则 t1+t2=-

60

7

，t1t2=-

125

7

．
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

10 71

7

．
（2）由P的极坐标为(2

2

，

3π

4

)，可得x_p=2

2

cos

3π

4

=-2，yp=2

2

sin

3π

4

=2．
∴点P在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2），
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为

t1+t2

2

=-

30

7

．
∴由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=|

t1+t2

2

|=

30

7

．

点评：本题考查了直线与双曲线的相交问题、直线的参数方程的参数的几何意义、极坐标化为直角坐标、中点坐标公式、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．