Question

（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(

3

t

，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．

Answer 1

分析：因为动点P为动直线直线AC、BD的交点，所以可用消参法求P的轨迹方程．先利用A，B，C，D四点坐标，则可得到含参数的直线AC、BD方程，再消去参数，即可得到求动点P的轨迹的参数方程，最后消去参数t化成普通方程即可．

解答：解：直线AC的方程为

x

t

+y=1，①
直线BD的方程为

x

3 t

-y=1，②…（2分）
由①②解得，动点P的轨迹的参数方程为

x= 6t t2+3 y= t2-3 t2+3

（t为参数，且t≠0），…（6分）
将x=

6t

t2+3

平方得x2=

36t2

(t2+3)2

，③
将y=

t2-3

t2+3

平方得y2=

(t2-3)2

(t2+3)2

，④…（8分）
由③④得，

x2

3

+y2=1(x≠0)．          …（10分）
（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“x≠0”扣（1分）．）

点评：本题考查了消参法求动点轨迹方程，以及椭圆的标准方程，计算量较大，应认真计算．